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        1. 已知數(shù)列a1=1,a2=2,an+2=
          5an+1-3an,anan+1為偶數(shù)時
          an+1-ananan+1為奇數(shù)時

          (1)求a3,a4的值;
          (2)證明:任意相鄰三項(xiàng)不可能有兩個偶數(shù);
          (3)若an=2n-1(n∈N+),求n的值.
          分析:(1)根據(jù)a1=1,a2=2,及數(shù)列遞推式可求a3,a4的值;
          (2)假設(shè)an,an+1,an+2中存在兩項(xiàng)為偶數(shù),不妨設(shè)an,an+1為偶數(shù),由已知3an-1=5an-an+1或an-1=an-an+1,得an-1必為偶數(shù),以此類推,可得a1為偶數(shù);同理若有不相鄰兩項(xiàng)為偶數(shù),可得a1為偶數(shù),與已知條件矛盾;
          (3)由n=1,2顯然滿足題意,再證:n≥3時,無滿足題意的n即可.
          解答:(1)解:∵a1=1,a2=2,∴a3=5a2-3a1=7,a4=5a3-3a2=29…(2分)
          (2)證明:假設(shè)an,an+1,an+2中存在兩項(xiàng)為偶數(shù),若有相鄰兩項(xiàng)為偶數(shù),不妨設(shè)an,an+1為偶數(shù),
          由已知3an-1=5an-an+1或an-1=an-an+1,得an-1必為偶數(shù),
          以此類推,可得a1為偶數(shù),與已知條件矛盾,…(5分)
          若有不相鄰兩項(xiàng)為偶數(shù),不妨設(shè)an,an+2為偶數(shù),由已知5an+1=3an+an+2或an+1=an+an+2得an+1必為偶數(shù),
          以此類推,可得a1為偶數(shù),與已知條件矛盾,
          故,任意相鄰三項(xiàng)不可能有兩個偶數(shù)…(8分)
          (3)解:由n=1,2顯然滿足題意,…(10分)
          下證:n≥3時,無滿足題意的n,
          設(shè)使得an是4的倍數(shù)的最小下標(biāo)為m,則由(1)知m>4,
          由于am是偶數(shù),由(2)知am-1,am-2為奇數(shù),…(12分)
          再由已知條件知am-3為偶數(shù)…(13分)
          又am-1=5am-2+am-3或am=am-1+an-2得3am-3=4am-2-am,
          從而am-3也為4的倍數(shù),與假設(shè)矛盾,…(15分)
          綜上所述,當(dāng)n≥3時,無滿足題意的n使得an=2n-1,
          故n=1,2,…(16分)
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查反證法思想的運(yùn)用,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          A.2個
          B.6個
          C.8個
          D.16個

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           已知數(shù)列a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,則適合此數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為(    )

          A、an=n-1                   B、an=2n-1                C、an=n+1                 D、an=2n+1

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