Question

已知f(x)=

x2+kx+1

x2+x+1

，若對(duì)任意的非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c，f（a），f（b），f（c）為三角形三邊，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用三角形三邊的性質(zhì)，得f（a）+f（b）＞f（c），通過(guò)分類(lèi)討論求得到三邊之間的關(guān)系不等式，解出不等式的解集即可．

解答：解：∵x²+x+1＞0恒成立，f（a），f（b），f（c）為三角形三邊，∴f（x）＞0恒成立，即x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0時(shí)，結(jié)論成立；x＞0時(shí)，-k＜x+

1

x

，∵x＞0，∴x+

1

x

≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

 （x＞0）
由k＞-2
（1）當(dāng)k=1時(shí)，滿足題意；
（2）當(dāng)k＞1時(shí)，f（x）∈（1，1+

k-1

3

]，由題意知：1+1＞1+

k-1

3

，∴1＜k＜4
（3）當(dāng)k＜1時(shí)，f（x）∈[

2+k

3

，1），于是有2×

2+k

3

＞1，∴1＞k＞-

1

2

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為-

1

2

＜k＜4．
故答案為：-

1

2

＜k＜4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查不等式的求解方法．