Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f′（x）是y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x，則稱(chēng)點(diǎn)（x，f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”，可以發(fā)現(xiàn)，任何三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)判斷下列命題：
①任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（-，f（-））對(duì)稱(chēng)：
②存在三次函數(shù)f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x，點(diǎn)（x，f（x））為麵y=f（x）的對(duì)稱(chēng)中心；
③存在三次函數(shù)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的對(duì)稱(chēng)中心；
④若函數(shù)g（x）=x³-x²-，則，g（）+g（）+g（）+…+g（）=-105.5．
其中正確命題的序號(hào)為    （把所有正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對(duì)稱(chēng)中心；
②③利用三次函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷；
④由g（x）=x3-x2-的對(duì)稱(chēng)中心是（），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（）+g（）+g（）+…+g（）．
解答：解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵，
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（-，f（-））對(duì)稱(chēng)，即①正確；
∵任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x，點(diǎn)（x，f（x））為y=f（x）的對(duì)稱(chēng)中心，即②正確；
任何三次函數(shù)都有且只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故③不正確；
∵g（x）=x3-x2-，
∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=，
∵g（）==-，
∴函數(shù)g（x）=x3-x2-的對(duì)稱(chēng)中心是（），
∴g（x）+（g（1-x）=-1，
∴g（）+g（）+g（）+…+g（）=-105.5，故④正確．
故答案為：①②④．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于難題．