Question

（2013•安慶三模）對(duì)于三次函數(shù)f（x）-ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f^t（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f^tt（x）是函數(shù)f^t的導(dǎo)數(shù)，若方程f^tt（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)一元三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；且該“拐點(diǎn)”也為該函數(shù)的對(duì)稱中心．若f（x）=x³-

3

2

x²+

1

2

x+1，則f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）=（　�。�

A．1

B．2

C．2013

D．2014

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，從而得到f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）的值．

解答：解：由f（x）=x³-

3

2

x²+

1

2

x+1，得f′(x)=3x2-3x+

1

2

，
所以f^′′（x）=6x-3，由f^′′（x）=6x-3=0，得x=

1

2

．
∴f(

1

2

)=1，∴f（x）的對(duì)稱中心為（

1

2

，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2013

2014

)=f(

2

2014

)+f(

2012

2014

)=…=2f(

1007

2014

)=2．
∴f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）=2013．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查了函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是尋找函數(shù)值所滿足的規(guī)律，是中檔題．