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        1. (2013•昌平區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2+3x-
          5
          12
          ,請你根據(jù)上面探究結(jié)果,解答以下問題
          (1)函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2+3x-
          5
          12
          的對稱中心為
          1
          2
          ,1)
          1
          2
          ,1)
          ;
          (2)計算f(
          1
          2013
          )+f(
          2
          2013
          )+f(
          3
          2013
          )
          +…+f(
          2012
          2013
          )=
          2012
          2012
          分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2+3x-
          5
          12
          的對稱中心.
          (2)由f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2+3x-
          5
          12
          的對稱中心為(
          1
          2
          ,1),知f(x)+f(1-x)=2,由此能夠求出f(
          1
          2013
          )+f(
          2
          2013
          )+f(
          3
          2013
          )
          +…+f(
          2012
          2013
          ).
          解答:解:(1)∵f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2+3x-
          5
          12
          ,
          ∴f′(x)=x2-x+3,f''(x)=2x-1,
          令f''(x)=2x-1=0,得x=
          1
          2

          ∵f(
          1
          2
          )=
          1
          3
          ×(
          1
          2
          )
          3
          -
          1
          2
          ×(
          1
          2
          )2-
          5
          12
          +3×
          1
          2
          =1,
          ∴f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2+3x-
          5
          12
          的對稱中心為(
          1
          2
          ,1),
          (2)∵f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2+3x-
          5
          12
          的對稱中心為(
          1
          2
          ,1),
          ∴f(x)+f(1-x)=2,
          f(
          1
          2013
          )+f(
          2
          2013
          )+f(
          3
          2013
          )
          +…+f(
          2012
          2013
          )=2×1006=2012.
          故答案為:(
          1
          2
          ,1),2012.
          點評:本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查化簡計算能力,求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,屬于難題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•昌平區(qū)二模)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=
          2i-1
          i
          在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•昌平區(qū)二模)設(shè)數(shù)列{an},對任意n∈N*都有(kn+b)(a1+an)+p=2(a1+a2…+an),(其中k、b、p是常數(shù)).
          (1)當k=0,b=3,p=-4時,求a1+a2+a3+…+an;
          (2)當k=1,b=0,p=0時,若a3=3,a9=15,求數(shù)列{an}的通項公式;
          (3)若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當k=1,b=0,p=0時,設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,a2-a1=2,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{an},使得對任意n∈N*,都有Sn≠0,且
          1
          12
          1
          S1
          +
          1
          S2
          +
          1
          S3
          +…+
          1
          Sn
          11
          18
          .若存在,求數(shù)列{an}的首項a1的所有取值;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•昌平區(qū)二模)如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E為CD的中點,則
          AE
          BD
          =
          1
          1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•昌平區(qū)二模)圓x2+(y-2)2=1的圓心到直線
          x=3+t
          y=-2-t
          (t為參數(shù))的距離為( 。

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          同步練習(xí)冊答案