Question

已知P為拋物線y²=4x上的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P到直線x=-1的距離為d，對(duì)于給定點(diǎn)A（4，5），則|PA|+d的最小值為

34

．

Answer 1

分析：過P作PB垂直于直線x=-1，垂足為B，根據(jù)拋物線的定義得：|PA|+d=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|．利用三角形兩邊之和大于第三邊，可得當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+d達(dá)到最小值，因此可用兩點(diǎn)的距離公式求出|PA|+d的最小值．

解答：解：過P作PB垂直于直線x=-1，垂足為B
∵拋物線方程為y²=4x，
∴2p=4，得

p

2

=1，可得焦點(diǎn)F（1，0），且直線x=-1是拋物線的準(zhǔn)線，
因此，|PA|+d=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|
∵|PA|+|PF|≥|AF|
∴當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|達(dá)到最小值
因此，|PA|+d的最小值為|AF|=

(4-1)2+(5-0)2

=

34

故答案為：

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點(diǎn)評(píng)：本題給出定點(diǎn)A和拋物線上動(dòng)點(diǎn)P，求P到A點(diǎn)與P到拋物線準(zhǔn)線距離之和的最小值，著重考查了拋物線的幾何性質(zhì)和兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．