Question

已知P為拋物線y²=4x的焦點，過P的直線l與拋物線交與A、B兩點，若點Q在直線l上，且滿足AP•QB=AQ•PB，則點Q總在定直線x=-1上．試猜測如果點P為橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左焦點，過P的直線l與橢圓交與A、B兩點，點Q在直線l上，且滿足AP•QB=AQ•PB，則點Q總在定直線

x=-

16 7

7

上．

Answer 1

分析：由已知中已知P為拋物線y²=4x的焦點，過P的直線l與拋物線交與A，B兩點，若Q在直線l上，且滿足 |

AP

||

QB

|=|

AQ

||

PB

|，則點Q總在定直線x=-1上．我們易判斷出滿足條件的定直線為拋物線的準(zhǔn)線，類比推理，可以推斷出如果P為橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左焦點，過P的直線l與橢圓交與A，B兩點，若Q在直線l上，且滿足 AP•QB=AQ•PB，則點Q也在橢圓的左準(zhǔn)線上，進而可得答案．

解答：解：由已知P為拋物線y²=4x的焦點，
過P的直線l與拋物線交與A，B兩點，
若Q在直線l上，且滿足 AP•QB=AQ•PB，
則點Q總在定直線x=-1上．
故滿足條件的點在拋物線的直線上，
則我們易類比推斷出：
如果P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的左焦點，
過P的直線l與橢圓交與A，B兩點，
若Q在直線l上，且滿足 AP•QB=AQ•PB，
則點Q總在橢圓的左準(zhǔn)線上，即直線方程為 x=-

16 7

7

故答案為：x=-

16 7

7

．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．