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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】在一次數學競賽中,某些選手是朋友關系.記所有選手的集合為X,對集合X的子集Y,若可以將這些人兩兩分組,且每組中兩名選手均是朋友關系,則稱子集Y“可兩兩分組”.已知集合X不可兩兩分組,且對于任意選手,若A、B不是朋友關系,則可兩兩分組,且X中沒有一個人與其他所有人均為朋友關系證明:對任意選手,若a、b為朋友關系,b、c為朋友關系,則a、c也為朋友關系

          【答案】見解析

          【解析】

          考慮一個圖G,頂點由集合X組成,若X中兩人認識,則將這兩人相連,否則不相連若一個圖中的點可以兩兩分組,且每組中兩個點均相連,則稱這種分組為圖G的一個“完美匹配”(可以看成是圖G的一個子圖).于是,題目的條件變成了圖G不存在完美匹配,且若x、y不相連,則G+xy(表示把這個圖G的xy也相連)存在一個完美匹配,且沒有一個點與所有點均相連.

          用反證法.

          若存在a、b、c使得a、b認識,b、c認識,但a、c不認識,由于沒有人認識其他所有人,故存在,使得b、d不認識.

          由假設可得G+ac有一個完美匹配,記為;G+bd也有一個完美匹配記為.

          考慮的對稱差

          .

          則容易得到S是一些互不相交的圈,且每個圈均由偶數個點組成,設ac屬于圈,bd屬于圈.

          分兩種情形討論

          ,則在圈外的點按照的分組方式分組,在圈中按照的分組方式即可得到原圖G的一個完美匹配,即得矛盾.

          ,則這個圈從b出發(fā)沿邊bd開始,不妨設首先連到點a,即b到a的路徑(首先經過邊bd)為P,于是,P+ab為一個圈,其中,有一半的邊(間隔地)屬于對P+ab這個圈外的點按的方式分組,而對P+ab按ab及的方式分組即可得到原圖G的一個完美匹配,即得矛盾.

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病,需要檢驗血液是否為陽性,現(xiàn)有)份血液樣本,有以下兩種檢驗方式:(1)逐份檢驗,則需要檢驗次;(2)混合檢驗,將其中)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性,這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了,如果檢驗結果為陽性,為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這份再逐份檢驗,此時這份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的,且每份樣本是陽性結果的概率為

          (1)假設有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗方式,求恰好經過4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.

          (2)現(xiàn)取其中)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為

          (。┰囘\用概率統(tǒng)計的知識,若 ,試求關于的函數關系式;

          (ⅱ)若,采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少,求的最大值.

          參考數據:,,,

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】已知函數.

          (1)若函數,求的極值;

          (2)證明:.

          (參考數據:

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】已知橢圓)的左焦點為,點為橢圓上任意一點,且的最小值為,離心率為.

          (1)求橢圓的方程;

          (2)設O為坐標原點,若動直線與橢圓交于不同兩點、都在軸上方),且.

          (i)當為橢圓與軸正半軸的交點時,求直線的方程;

          (ii)對于動直線,是否存在一個定點,無論如何變化,直線總經過此定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數 (萬人)與餐廳所用原材料數量 (袋),得到如下統(tǒng)計表:

          第一次

          第二次

          第三次

          第四次

          第五次

          參會人數 (萬人)

          13

          9

          8

          10

          12

          原材料 (袋)

          32

          23

          18

          24

          28

          (1)根據所給5組數據,求出關于的線性回歸方程.

          (2)已知購買原材料的費用 (元)與數量 (袋)的關系為,

          投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為700元,多余的原材料只能無償返還,據悉本次交易大會大約有15萬人參加,根據(1)中求出的線性回歸方程,預測餐廳應購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤銷售收入原材料費用).

          參考公式: , .

          參考數據: , .

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】編號分別為12名籃球運動員在某次籃球比賽中的得分記錄如下:

          運動員編號

          得分

          5

          10

          12

          16

          8

          21

          27

          15

          6

          22

          18

          29

          1)完成如下的頻率分布表:

          得分區(qū)間

          頻數

          頻率

          3

          合計

          2)從得分在區(qū)間內的運動員中隨機抽取2人,求這2人得分之和大于25的概率.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】已知函數為自然對數的底數).

          (1)討論函數的單調性;

          (2)當時,恒成立,求整數的最大值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】已知mn為常數),在處的切線方程為.

          )求的解析式并寫出定義域;

          )若任意,使得對任意上恒有成立,求實數a的取值范圍;

          )若有兩個不同的零點,求證: .

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】在直角坐標系中,直線的參數方程為為參數),直線與直線平行,且過坐標原點,圓的參數方程為為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

          (1)求直線和圓的極坐標方程;

          (2)設直線和圓相交于點兩點,求的周長.

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