【題目】在一次數(shù)學(xué)競賽中，某些選手是朋友關(guān)系.記所有選手的集合為X，對集合X的子集Y，若可以將這些人兩兩分組，且每組中兩名選手均是朋友關(guān)系，則稱子集Y“可兩兩分組”.已知集合X不可兩兩分組，且對于任意選手
，若A、B不是朋友關(guān)系，則
可兩兩分組，且X中沒有一個人與其他所有人均為朋友關(guān)系證明:對任意選手
，若a、b為朋友關(guān)系，b、c為朋友關(guān)系，則a、c也為朋友關(guān)系
【答案】見解析
【解析】
考慮一個圖G，頂點由集合X組成，若X中兩人認(rèn)識，則將這兩人相連，否則不相連若一個圖中的點可以兩兩分組，且每組中兩個點均相連，則稱這種分組為圖G的一個“完美匹配”（可以看成是圖G的一個子圖）.于是，題目的條件變成了圖G不存在完美匹配，且若x、y不相連，則G＋xy（表示把這個圖G的xy也相連）存在一個完美匹配，且沒有一個點與所有點均相連.
用反證法.
若存在a、b、c使得a、b認(rèn)識，b、c認(rèn)識，但a、c不認(rèn)識，由于沒有人認(rèn)識其他所有人，故存在
，使得b、d不認(rèn)識.
由假設(shè)可得G＋ac有一個完美匹配，記為
；G＋bd也有一個完美匹配記為
.
考慮與的對稱差
.
則容易得到S是一些互不相交的圈，且每個圈均由偶數(shù)個點組成，設(shè)ac屬于圈
，bd屬于圈
.
分兩種情形討論
若
，則在圈外的點按照的分組方式分組，在圈中按照的分組方式即可得到原圖G的一個完美匹配，即得矛盾.
若
，則這個圈從b出發(fā)沿邊bd開始，不妨設(shè)首先連到點a，即b到a的路徑（首先經(jīng)過邊bd）為P，于是，P＋ab為一個圈，其中，有一半的邊（間隔地）屬于對P＋ab這個圈外的點按的方式分組，而對P＋ab按ab及的方式分組即可得到原圖G的一個完美匹配，即得矛盾.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有
（
）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中
（
且
）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗．若檢驗結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為
次．假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為
．
（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率．
（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為
，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為
（�。┰囘\用概率統(tǒng)計的知識，若
，試求
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式
；
（ⅱ）若
，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．
參考數(shù)據(jù)：
，
，
，
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
（
）的左焦點為
，點
為橢圓
上任意一點，且
的最小值為
，離心率為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，若動直線
與橢圓交于不同兩點
、
（、都在
軸上方），且
.
（i）當(dāng)為橢圓與
軸正半軸的交點時，求直線的方程；
（ii）對于動直線，是否存在一個定點，無論
如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù)
(萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量
(袋)，得到如下統(tǒng)計表：
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
參會人數(shù) | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
（1）根據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出
關(guān)于
的線性回歸方程
.
（2）已知購買原材料的費用
(元)與數(shù)量
(袋)的關(guān)系為
，
投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加，根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(注：利潤
銷售收入
原材料費用).
參考公式： 
， 
.
參考數(shù)據(jù)： 
， 
， 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】編號分別為
的12名籃球運動員在某次籃球比賽中的得分記錄如下：
運動員編號 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
得分 | 5 | 10 | 12 | 16 | 8 | 21 | 27 | 15 | 6 | 22 | 18 | 29 |
（1）完成如下的頻率分布表：
得分區(qū)間 | 頻數(shù) | 頻率 |
| 3 |
|
| ||
| ||
合計 |
（2）從得分在區(qū)間
內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，求這2人得分之和大于25的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）當(dāng)
時，
恒成立，求整數(shù)
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
（m，n為常數(shù)），在
處的切線方程為
.
（Ⅰ）求
的解析式并寫出定義域；
（Ⅱ）若任意
，使得對任意
上恒有
成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若
有兩個不同的零點
，求證： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），直線
與直線平行，且過坐標(biāo)原點，圓
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線和圓的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線和圓相交于點
、
兩點，求
的周長．
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