Question

（2013•重慶）對(duì)正整數(shù)n，記I_n={1，2，3…，n}，P_n={

m

k

|m∈I_n，k∈I_n}．
（1）求集合P₇中元素的個(gè)數(shù)；
（2）若P_n的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使P_n能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于集合P₇ ，有n=7．當(dāng)k=4時(shí)，根據(jù)P_n中有3個(gè)數(shù)與I_n={1，2，3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得集合P₇中元素的個(gè)數(shù)．
（2）先用反證法證明證當(dāng)n≥15時(shí)，P_n不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集，再證P₁₄滿足要求，從而求得n的最大值．

解答：解：（1）對(duì)于集合P₇ ，有n=7．當(dāng)k=4時(shí)，P_n={

m

k

|m∈I_n，k∈I_n}中有3個(gè)數(shù)（1，2，3）與
I_n={1，2，3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得
集合P₇中元素的個(gè)數(shù)為 7×7-3=46．
（2）先證當(dāng)n≥15時(shí)，P_n不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集．否則，設(shè)A和B為兩個(gè)不相交的稀疏集，使A∪B=P_n?I_n ．
不妨設(shè)1∈A，則由于1+3=2²，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=4²，
這與A為稀疏集相矛盾．
再證P₁₄滿足要求．當(dāng)k=1時(shí)，P₁₄={

m

k

|m∈I₁₄，k∈I₁₄}=I₁₄，可以分成2個(gè)稀疏集的并集．
事實(shí)上，只要取A₁={1，2，4，6，9，11，13}，B₁={3，5，7，8，10，12，14}，則A₁和B₁都是稀疏集，且A₁∪B₁=I₁₄．
當(dāng)k=4時(shí)，集合{

m

k

|m∈I₁₄}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{

1

2

，

3

2

，

5

2

，…，

13

2

}，可以分為下列3個(gè)稀疏集的并：
A₂={

1

2

，

5

2

，

9

2

，

11

2

}，B₂={

3

2

，

7

2

，

13

2

}．
當(dāng)k=9時(shí)，集合{

m

k

|m∈I₁₄}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{

1

3

，

2

3

，

4

3

，

5

3

，…，

13

3

，

14

3

}，
可以分為下列3個(gè)稀疏集的并：
A₃={

1

3

，

4

3

，

5

3

，

10

3

，

13

3

}，B₃={

2

3

，

7

3

，

8

3

，

11

3

，

14

3

}．
最后，集合C═{

m

k

|m∈I₁₄，k∈I₁₄，且k≠1，4，9 }中的數(shù)的分母都是無(wú)理數(shù)，
它與P_n中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，
因此，令A(yù)=A₁∪A₂∪A₃∪C，B=B₁∪B₂∪B₃，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P₁₄．
綜上可得，n的最大值為14．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義，集合間的包含關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．