Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函數(shù)的最小正周期為．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 最大值為3，最小值為．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)化簡三角函數(shù)的解析式，利用最小正周期公式可得 ；

(Ⅱ)利用(I)中函數(shù)的解析式得到函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可得函數(shù)的最大值為3，最小值為．

試題解析：

函數(shù)f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），

化簡可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1

=cos2ax+sin2ax+1

=2sin（2ax+）+1

∵函數(shù)的最小正周期為．即T=

由T=，可得a=2．

∴a的值為2．

故f（x）=2sin（4x+）+1；

（Ⅱ）x∈[0，]時，4x+∈[0，]．

當4x+=時，函數(shù)f（x）取得最小值為=1．

當4x+=時，函數(shù)f（x）取得最大值為2×1+1=3

∴f（x）在[0，]上的最大值為3，最小值為1．