Question

有下列命題：
①函數(shù)y=4cos2x，x∈[-10π，10π]不是周期函數(shù)；
②函數(shù)y=4cos 2x的圖象可由y=4sin 2x的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到；
③函數(shù)y=4cos（2x+θ）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

6

，0)對稱的一個(gè)必要不充分條件是θ=

k

2

π+

π

6

(k∈Z)；
④若點(diǎn)P分有向線段

P1P2

的比為λ，且|

P1P2

|=3|

P2P

|，則λ的值為-4或4．
其中正確命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：由周期函數(shù)的定義可得①正確．根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換可得②不正確．利用余弦函數(shù)的對稱性以及充分條件、必要條件的定義可得③正確．根據(jù)線段的定比分點(diǎn)分有向線段成的比的定義可得④不正確．

解答：解：由周期函數(shù)的定義可得①正確．
由y=4sin 2x的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位可得y=4sin2（x-

π

4

）=4sin（2x-

π

2

）=-4cos2x，故②不正確．
當(dāng)函數(shù)y=4cos（2x+θ）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

6

，0)對稱時(shí)，4cos（

π

3

+θ）=0，故

π

3

+θ=kπ+

π

2

，k∈z，
即 θ=kπ+

π

6

(k∈Z)，能推出θ=

k

2

π+

π

6

(k∈Z)=

nπ+ π 6  ，k=2n nπ+ 2 3  ，k=2n+1

，故必要性成立．
當(dāng)θ=

k

2

π+

π

6

(k∈Z)時(shí)，不能推出4cos（

π

3

+θ）=0，故不能推出y=4cos（2x+θ）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

6

，0)對稱，
故充分性不成立，故③正確．
若點(diǎn)P分有向線段

P1P2

的比為λ，且|

P1P2

|=3|

P2P

|，則λ的值為2，或-4，故④不正確．
故答案為①③．

點(diǎn)評：本題主要考查余弦函數(shù)的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，線段的定比分點(diǎn)分有向線段成的比的定義，屬于中檔題．