Question

（本小題滿分8分）如圖5，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；

（2）若四面體的體積為，求的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．

已知點(diǎn)是的中點(diǎn)通常再找一中點(diǎn)構(gòu)成中位線，得到平行關(guān)系。

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則，且

，用體積公式列出關(guān)于x的等式即可。

（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911553632767226/SYS201207091156153432674155_DA.files/image010.png">是正方形，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以是△的中位線．

所以． 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911553632767226/SYS201207091156153432674155_DA.files/image014.png">平面，平面，

所以平面． 

（2）解：取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911553632767226/SYS201207091156153432674155_DA.files/image022.png">平面，所以平面．

設(shè)，則，且．

所以 

            

           ．

解得．

故的長(zhǎng)為2．