Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若存在最大值，且，求實數(shù)的取值范圍；

（2）令，，求證：對任意的，總存在最小值，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）先確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)可得，分情況進行討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由存在最大值，且，解出實數(shù)的取值范圍；（2）將代入函數(shù)，對函數(shù)進行化簡整理，可得，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，進而得證.

（1）由于的定義域為，，

當(dāng)時，在上為單調(diào)函數(shù)，此時無最大值；

當(dāng)時，由得，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為的極大值點.

故，解得：.

綜上，當(dāng)時，有最大值.

（2）當(dāng)時，.

，由于，則，，

并且在上單調(diào)遞增，故存在唯一的，使得，

從而，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增.

故函數(shù)存在最小值，結(jié)合即，得

.

綜上得，對任意的，總存在最小值，且.