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        1. (2010•南充一模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在x∈[-1,1]上的偶函數(shù),函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且當(dāng)x∈[2,3]時,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3
          ①求f(x)的解析式;
          ②是否存在正整數(shù)a,使f(x)的最大值為12?若存在求出a的值,若不存在說明理由.
          分析:(1)先設(shè)f(x)的圖象上任意點(diǎn)(x,f(x)),求出它關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo),由題意給出x的范圍,再代入g(x)的解析式化簡,再由偶函數(shù)的關(guān)系式求出另外一部分的解析式,最后用分段函數(shù)的形式表示出來;
          (2)先假設(shè)存在,由偶函數(shù)的性質(zhì)確定研究的對象,再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和臨界點(diǎn),根據(jù)臨界點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系分類討論,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性,并求出函數(shù)的最值,再由題意列出方程求出a的值.
          解答:解:(1)設(shè)f(x)的圖象上任意點(diǎn)(x,f(x)),
          它關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)(2-x,f(x))在g(x)的圖象上,
          當(dāng)x∈[-1,0]時,2-x∈[2,3],且g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3
          ∴f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3,
          當(dāng)x∈(0,1]時,-x∈[-1,0),∴f(-x)=2ax-4x3
          又∵f(x)是定義在x∈[-1,1]上的偶函數(shù),
          ∴f(x)=2ax-4x3,
          f(x)=
          -2ax+4x3      (-1≤x≤0)
          2ax-4x3          (0<x≤1)

          (2)假設(shè)存在正整數(shù)a,使函數(shù)f(x)的最大值為12,
          又f(x)為偶函數(shù),故只需研究函數(shù)f(x)=2ax-4x3在x∈(0,1]的最大值
          令f′(x)=2a-12x2=0,得x=
          a
          6
          (a>0)
          ,
          a
          b
          ∈(0,1],即0<a≤6
          時:
          x∈(0,
          a
          6
          ],f′(x)>0,f(x)
          單調(diào)遞增,
          x∈(
          a
          6
          ,1],f′(x)<0,f(x)
          單調(diào)遞減,
          [f(x)]max=f(
          a
          6
          )=2a×
          a
          6
          -4(
          a
          6
          )
          3
          <2a×
          a
          6
          ≤12

          故此時不存在符合題意的a,
          a
          6
          >1,即a>6
          時,f′(x)>0在(0,1]上恒成立,
          則f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,
          [f(x)]max=f(1)=2a-4
           
          ,
          令2a-4=12,得a=8,
          綜上,存在a=8滿足題意.
          點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的對稱性,奇偶性的綜合應(yīng)用,還考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系,涉及了分類討論思想和存在性問題等,比較綜合,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•南充一模)在直角坐標(biāo)平面上,向量
          OA
          =(1,3)
          、
          OB
          =(-3,1)
          (O為原點(diǎn))在直線l上的射影長度相等,且直線l的傾斜角為銳角,則l的斜率等于( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•南充一模)函數(shù)f(x)=ax-1+logax(a>0且a≠1),在[1,2]上的最大值與最小值之和是a,則a的值是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•南充一模)已知a,b,c都是正數(shù),且a+2b+c=1,則
          1
          a
          +
          1
          b
          +
          1
          c
          的最小值是
          6+4
          2
          6+4
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•南充一模)已知兩異面直線a,b所成的角為
          π
          3
          ,直線l分別與a,b所成的角都是θ,則θ的取值范圍是
          [
          π
          6
          ,
          π
          2
          ]
          [
          π
          6
          ,
          π
          2
          ]

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•南充一模)已知函數(shù)f(x)圖象的兩條對稱軸x=0和x=1,且在x∈[-1,0]上f(x)單調(diào)遞增,設(shè)a=f(3),b=f(
          2
          )
          ,c=f(2),則a,b,c的大小關(guān)系是( 。

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