Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列，，記.
（1）求和；
（2）證明: 對(duì)任意的，有成立.

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）對(duì)照條件易得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得；（2）對(duì)于與自然數(shù)有關(guān)的命題的證明可優(yōu)先考慮用數(shù)學(xué)歸納法，用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，首先要掌握好數(shù)學(xué)歸納法證題的規(guī)范、完整的證題步驟，而真正的難點(diǎn)和重點(diǎn)是由假設(shè)來(lái)推導(dǎo)第步，這里要充分地利用假設(shè)，若是對(duì)于恒等式的證明在利用了假設(shè)以后就很容易推導(dǎo)出第步，但是對(duì)于不等式的證明在利用了假設(shè)以后還不能一下子就推導(dǎo)出第步，還需要對(duì)照目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s處理才能推導(dǎo)出第步，放縮處理是有難度，且需要技巧的，這需要在學(xué)習(xí)中去積累.
試題解析： （1）依題意可知，又，所以，從而，進(jìn)而有 ．                                                        4分
（2）證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e1/2/1jggr4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以不等式成立．      5分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即成立．           7分
那么當(dāng)時(shí)，則左邊右邊             12分
所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立.
由①、②可得對(duì)任意的，都有恒成立．          14分
（另解：此題也可直接用放縮法證明.即用）
考點(diǎn)：1.等比數(shù)列知識(shí)；2.數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式方面的應(yīng)用；3.放縮法證明不等式.