Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若在處的切線與直線平行，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)的圖象與軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明．

Answer 1

【答案】（1） （2）詳見解析（3）證明詳見解析.

【解析】

（1）首先求，根據(jù)解出的值；

（2）由（1）得，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)出函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用分析法和根據(jù)（2）的結(jié)論進(jìn)行證明，根據(jù)要證明的結(jié)論和分析的過程，利用放縮法，換元法，構(gòu)造函數(shù)法解答，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明.

（1）

又因?yàn)?/span>的圖象在處的切線與直線平行，

即，即 ，

解得：；

（2）由（1）得，

的定義域?yàn)?/span>，

，

①當(dāng)時(shí)，對任意，，

此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）不妨設(shè)，，且，由（2）知，

于是要證明成立，只需證：，即，

①

②，

①-②得，

，

故只需證明，

即證明，

即證明，變形為，

設(shè)，令，，

顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

在上是增函數(shù)，

又，

當(dāng)時(shí)，總成立，命題得證.