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        1. (2010•柳州三模)已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)B,且與一條漸近線交于點(diǎn)C,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),又|OA|=2|OB|,
          OA
          OC
          =2
          過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).
          (Ⅰ)求雙曲線的方程;
          (Ⅱ)證明:B、P、N三點(diǎn)共線.
          分析:(Ⅰ)根據(jù)已知線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          ,表示出A,B的坐標(biāo).根據(jù)|
          OA
          |=2|
          OB
          |
          以及
          OA
          OC
          =2
          ,聯(lián)立求出a與c的值,然后寫出雙曲線的方程.
          (Ⅱ)由(Ⅰ)得出B,F(xiàn)的坐標(biāo),然后設(shè)出直線方程.將直線方程代入雙曲線方程,設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法求出y1+y2,y1•y2的值,此時(shí)即可表示出
          BP
          ,
          BN
          ,最后根據(jù)向量共線的定義即可判定B、P、N三點(diǎn)共線.
          解答:解:(Ⅰ)A(a,0),B (
          a2
          c
          ,0)

          |
          OA
          |=2|
          OB
          |⇒ 
          a2
          c
          =
          a
          2
          (1)

          x=
          a2
          c
          y=
          b
          a
          x
          ⇒C(
          a2
          c
          ,
          ab
          c
          )
          ,
          OA
          OC
          =2⇒
          a2
          c
          =2(2)

          解(1)(2)得a=2,c=4
          雙曲線方程為
          x2
          4
          -
          y2
          12
          =1

          (Ⅱ)由(Ⅰ)得,
          B(1,0),F(xiàn)(4,0)
          設(shè)直線l的方程為x=ty+4
          x2
          4
          -
          y2
          12
          =1
          x=ty+4
          ⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0

          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
          P(x1,-y1)∴
          y1+y2=
          -24t
          3t2-1
          y1y2=
          36
          3t2-1

          BP
          =(x1-1,-y1),
          BN
          =(x2-1,y2)
          (x1-1)y2-(x2-1)(-y1
          =x1y2+x2y1-(y1+y2
          =(ty1+4)y2+(ty2+4)y1-(y1+y2
          =2ty1y2+3(y1+y2)=2t
          36
          3t2-1
          +3
          -24
          3t2-1
          =0

          所以向量
          BP
          BN
          共線,
          即B、P、N三點(diǎn)共線.
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,以及雙曲線的方程.根據(jù)|
          OA
          |=2|
          OB
          |
          以及
          OA
          OC
          =2
          ,聯(lián)立求出a與c的值是關(guān)鍵.第二問(wèn)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法求出y1+y2,y1•y2的值.屬于中檔題.
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