Question

已知在正四棱錐P-ABCD中（如圖），高為1cm，其體積為4cm³，求異面直線(xiàn)PA與CD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接PO．根據(jù)錐體體積公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可算出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，從而用勾股定理算出PA長(zhǎng)，然后在△PAB中，利用余弦定理計(jì)算出∠PAB的余弦值，因?yàn)镃D∥AB，所以這個(gè)余弦值就是PA與CD所成角θ的余弦值，從而得到異面直線(xiàn)PA與CD所成角的大�。�
解答：解：連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接PO，則PO就是正四棱錐的高
設(shè)異面直線(xiàn)PA與CD所成角的大小θ，底邊長(zhǎng)為a，
則依題意得，正四棱錐P-ABCD體積為V=a²×1=4      …（4分）
∴a=2，可得AC=2
Rt△PAO中，OA=，PO=1
∴PA==        …（7分）
因?yàn)镃D∥AB，所以直線(xiàn)PA與AB所成的銳角就是PA與CD所成角θ．     …（9分）
△PAB中，PA=PB=，AB=2，
∴cos∠PAB==，即cosθ=，
所以PA與CD所成角θ=arccos．        …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)正四面體，叫我們求異面直線(xiàn)所成角，著重考查了正棱錐的性質(zhì)、余弦定理和異面直線(xiàn)所成角的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．