Question

如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，且已知．
（1）求球O的表面積；
（2）設(shè)M為BC中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)AM與PC所成角的大小．

Answer 1

解：（1）解：如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S_ABCD=2R²，，
所以 ，R=2，
球O的表面積是16π
（2）以O(shè)P，OA，OB為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
P（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），M（-1，1，0），
，，
所以
所以異面直線(xiàn)AM與PC所成角的余弦值為．
所以異面直線(xiàn)AM與PC所成角的大小為．
分析：（1）由題意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積．
（2）以O(shè)P，OA，OB為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出的夾角余弦，得到異面直線(xiàn)AM與PC所成角的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，球的表面積、體積，考查學(xué)生空間想象能力，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將異面直線(xiàn)所成的角通過(guò)向量的數(shù)量積來(lái)解決．