Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域是 

∴                     …………2分  

 令，即，解得或．

，∴  舍去．                           

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

 ∴ 當(dāng)x =1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．

當(dāng)時(shí)，，即．

 ∴ 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．                ……………………6分

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?img width=49 height=21 id="圖片 31172" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/88/409488.gif">

∴    ………7分

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……8分

② 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得．                     ………10分     

③ 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

∴     得

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是            …………12分

法二：

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……8分

②當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，只需在區(qū)間

上恒成立，只要恒成立，

解得或

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是            …………12分