Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)，根據(jù)題中條件可得在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再對(duì)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，分別討論，即可求出結(jié)果；

（2）先由題意可得到的極值點(diǎn)，就是的零點(diǎn)，即，根據(jù)(1)中單調(diào)性，以及，可得，，再設(shè)，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題中條件，即可證明結(jié)論成立.

（1）的定義域?yàn)?/span>，.

設(shè)，則由題意得，在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

，令，解得；令，解得.

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此.

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)在上沒(méi)有變號(hào)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)?/span>，，，

所以在和內(nèi)分別有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

綜上，的取值范圍為.

（2）的極值點(diǎn)，就是的零點(diǎn)，即.

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，且，

所以，.

設(shè)，，

則 .

因?yàn)?/span>時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即，

因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以.

由于，而在上單調(diào)遞減.

所以，從而，因此.