Question

【題目】如圖，已知平行四邊形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成.若為線段的中點(diǎn).

（1）證明平面，并求的長(zhǎng)；

（2）在翻折過(guò)程中，當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求平面與平面所成的二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接,證明四邊形為平行四邊形即可.

(2)易得當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí),面面,再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,再分別求出面與面的法向量,進(jìn)而求得平面與平面所成的二面角的余弦值即可.

(1) 取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn),故為的中位線,故.又平行四邊形中,為邊的中點(diǎn),故,故.故四邊形為平行四邊形,故.又平面,平面,故平面.

(2)因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn),故,故當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)三棱錐的體積取最大.故此時(shí)面面.

因?yàn)?/span>,.故邊長(zhǎng)是2的正三角形., 故,解得.故,故.故以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

則平面的一個(gè)法向量為.

,,.故,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則因?yàn)?/span>,即,

取有,.故.
設(shè)平面與平面所成的二面角為,則.

故平面與平面所成的二面角的余弦值為