Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.

（1）求拋物線的方程;

（2）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn),問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn),使得是正三角形？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）因?yàn)閽佄锞�,物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,由,即可求得答案;

（2）設(shè),,則由消掉得:,解得,假設(shè)拋物線上存在滿足條件的點(diǎn),結(jié)合已知,即可得出答案.

（1）拋物線

拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,

由得,

拋物線的方程為.

（2）設(shè),,

則由消掉得:

即,

根據(jù)韋達(dá)定理可得:,.

又 由兩點(diǎn)間距離公式可得:

,

.

假設(shè)拋物線上存在滿足條件的點(diǎn),

設(shè)的中點(diǎn),

則,

即.

是正三角形,

,且.

由和直線和

可得的方程為:即.

又 由點(diǎn)在上,

.①

由及點(diǎn)到直線的距離,得②

由聯(lián)立①②解得或

檢驗(yàn)點(diǎn)不在拋物線上,

存在滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

另法參考：亦可由

得或

經(jīng)驗(yàn)證,點(diǎn)不符合條件.

存在滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為.