Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其短半軸長為，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上的點(diǎn)，且．

證明：直線與圓相切；

求面積的最小值．

Answer 1

【答案】證明見解析；1.

【解析】

由題意可得橢圓的方程為，由點(diǎn)在直線上，且知的斜率必定存在，分類討論當(dāng)的斜率為時(shí)和斜率不為時(shí)的情況列出相應(yīng)式子，即可得出直線與圓相切；

由知，的面積為

解：由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以．

所以橢圓的方程為．

由點(diǎn)在直線上，且知的斜率必定存在，

當(dāng)的斜率為時(shí)，，，

于是，到的距離為，直線與圓相切．

當(dāng)的斜率不為時(shí)，設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，

所以，，從而．

而，故的方程為，而在上，故，

從而，于是．

此時(shí)，到的距離為，直線與圓相切．

綜上，直線與圓相切．

由知，的面積為

，

上式中，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，

所以面積的最小值為1．