Question

若函數(shù)f（x）=在區(qū)間（1，4）內為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)．
（1）試求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若a=2，求f（x）=c有三個不同實根時，c的取值范圍．
（說明：第二問能用f（x）表達即可，不必算出最結果．）

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=
∴f′（x）=x²-ax+a²-13，∵f（x）在區(qū)間（1，4）內為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)．
∴f′（x）=x²-ax+a²-13≤0在區(qū)間（6，+∞）上恒成立，
f′（x）=x²-ax+a²-13≥0在區(qū)間（6，+∞）上恒成立，
由f′（x）=x²-ax+a²-13開口向上，
∴只需
∴
∴a∈[1，3]
∴a的取值范圍為[1，3]．
（2）∵a=2，f（x）=，
∴f′（x）=x²-2x-9，
∴令f′（x）=x²-2x-9≥0即x≤1-或x≥1+，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，1-），（1+，+∞），減區(qū)間為（1-，1+）

X
y’	+	0	-	0	+
y	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的大致圖象如圖所示：
令y=c，則由圖可知，當
分析：（1）對f（x）求導，由已知條件函數(shù)f（x）=在區(qū)間（1，4）內為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)，將問題轉化為f′（x）=x²-ax+a²-13≤0在區(qū)間（1，4）上恒成立，和f′（x）=x²-ax+a²-13≥0在區(qū)間（1，4）上恒成立，兩個恒成立問題，從而求解；
（2）把a=2代入f（x），然后求導，求出f（x）的單調區(qū)間，利用數(shù)形結合的思想，畫出圖形進行求解．
點評：此題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，第一問比較新穎，已知單調區(qū)間來a的范圍，利用了轉化的思想，是一道綜合性比較強的題．