Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．

（1）若曲線f（x）=xlnx在x=1處的切線與函數(shù)g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求函數(shù)f（x）在上的最小值；

（3）證明：對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有成立

Answer 1

【答案】（1）3或-1；（2）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算的值，求出切線方程，再利用判別式為零即可的結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的最小值即可；（3）設(shè)，求出的導(dǎo)數(shù), 求出的最大值，得到恒成立，從而證明結(jié)論即可.

試題解析：（1）f′（x）=lnx+x=lnx+1 ，

時(shí)， ， ，

故 在 處的切線方程是： ，

聯(lián)立，

消去y得： ，

由題意得： ，

解得： 或 ；

（2）由（1）得： ，

x∈（0，）時(shí)， ， 遞減，

x∈（，+∞）時(shí)， ，遞增，

①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣時(shí)，

f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+），

②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜時(shí)，

f（x）min=f（）=﹣；

③≤t＜t+，即 時(shí)， f（x）在遞增，

；

綜上，f（x）min=；

（3）證明：設(shè)m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），則m′（x）=，

時(shí)， ，遞增，

時(shí)， ， 遞減，

可得m（x）max=m（1）=﹣，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到，

由（2）得 ，（ ）的最小值是﹣，

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取到，

因此 時(shí)，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，

又兩次最值不能同時(shí)取到，

故對(duì)任意 ，都有成立．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式證明問(wèn)題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.