Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若為曲線的一條切線，求a的值；

（2）已知，若存在唯一的整數(shù)，使得，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】試題分析：（1）先求出，設(shè)出切點，利用切線方程求得，進(jìn)而求得的值；（2）問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)，使的最小值小于零，利用導(dǎo)數(shù)求其極值，數(shù)形結(jié)合可得 ，且，即可得的取值范圍．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，，

設(shè)切點，則切線的斜率，

所以切線為，

因為恒過點，斜率為，且為的一條切線，

所以，

所以或，所以或．

（2）令，，

，

當(dāng)時，∵，，∴，

又，∴，∴在上遞增，

∴ ，又，

則存在唯一的整數(shù)使得，即；

當(dāng)時，為滿足題意，在上不存在整數(shù)使，

即在上不存在整數(shù)使，

∵，∴．

①當(dāng)時，，

∴在上遞減，

∴當(dāng)時，，

∴，∴；

②當(dāng)時，，不符合題意．

綜上所述，．