Question

現要制作一個圓錐形漏斗，其母線長為l，要使其體積最大，求高為多少？

Answer 1

分析：設圓錐形漏斗的高為h，我們可以表示出底面半徑r，進而得到圓錐體積的表達式，利用導數法，易得到體積取最大值時，高h與母線l之間的關系．

解答：解：設圓錐形漏斗的高為h，則圓錐的底面半徑為

l2-h2

（0＜h＜l）
則圓錐的體積V=

1

3

•π（l²-h²）•h=-

π

3

h³+

πl(wèi)2

3

h
則V′=-πh²+

πl(wèi)2

3

令V′=0
則h=±

3

3

l
∵0＜h＜l
∴當高h=

3

3

l時，Vmax=

2 3 π

27

l3

點評：本題考查的知識點是圓錐的體積，函數的最值，導數法在求函數最值中的應用，其中設出漏斗的高為h，表示出底面半徑r，進而得到圓錐體積的表達式，建立函數數學模型是解答本題的關鍵．