Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）．
（1）試討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，曲線上總存在相異兩點(diǎn)，，使得曲線在點(diǎn)，處的切線互相平行，求證：.

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． （2）證明：見解析。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的運(yùn)用。
（1）由已知，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)單調(diào)性，得到結(jié)論。
（2）因?yàn)橛深}意可得，當(dāng)時(shí)，（，且）.
即  ，
所以，.，借助于不等式來證明。
（1）由已知，.
由，得，.  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233501706370.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,且．
所以在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．            ……………6分
（2）證明：由題意可得，當(dāng)時(shí)，（，且）.
即  ，
所以，.     ………8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233502283529.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以恒成立，
所以，又，
所以，整理得.         
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233502236662.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在上單調(diào)遞減，
所以在上的最大值為， 所以.…………12分