Question

【題目】對(duì)于n∈N* ， 若數(shù)列{xn}滿足xn+1﹣xn＞1，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．
（Ⅰ）已知數(shù)列：1，m+1，m2是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在首項(xiàng)為﹣1的等差數(shù)列{an}為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和Sn滿足 ？若存在，求出{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列{an}是“K數(shù)列”，數(shù)列 不是“K數(shù)列”，若 ，試判斷數(shù)列{bn}是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，②
解①得 m＞1；
解②得 m＜﹣1或m＞2．
所以m＞2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞2．
（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列{an}符合要求，設(shè)公差為d，則d＞1，
由 a1=﹣1，得 ，．
由題意，得 對(duì)n∈N*均成立，
即（n﹣1）d＜n．
①當(dāng)n=1時(shí)，d∈R；
②當(dāng)n＞1時(shí)， ，
因?yàn)? ，
所以d≤1，與d＞1矛盾，
故這樣的等差數(shù)列{an}不存在．
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則 ，
因?yàn)閧an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，
所以a1＞0，且q＞1．
因?yàn)閍n+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1 ，
所以在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”為最小項(xiàng)．
同理，在 中，“ ”為最小項(xiàng)．
由{an}為“K數(shù)列”，只需a2﹣a1＞1，即 a1（q﹣1）＞1，
又因?yàn)? 不是“K數(shù)列”，且“ ”為最小項(xiàng)，所以 ，即 a1（q﹣1）≤2，
由數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得 a1（q﹣1）=2，
所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．
①當(dāng)a1=1，q=3時(shí)， ，則 ，
令 ，則 ，
又 = ，
所以{cn}為遞增數(shù)列，即 cn＞cn﹣1＞cn﹣2＞…＞c1 ，
所以bn+1﹣bn＞bn﹣bn﹣1＞bn﹣1﹣bn﹣2＞…＞b2﹣b1 ．
因?yàn)? ，
所以對(duì)任意的n∈N* ， 都有bn+1﹣bn＞1，
即數(shù)列{cn}為“K數(shù)列”．
②當(dāng)a1=2，q=2時(shí)， ，則 ．因?yàn)? ，
所以數(shù)列{bn}不是“K數(shù)列”．
綜上：當(dāng) 時(shí)，數(shù)列{bn}為“K數(shù)列”，
當(dāng) 時(shí)，數(shù)列{bn}不是“K數(shù)列”
【解析】（Ⅰ）由題意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，聯(lián)立解出即可得出．（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列{an}符合要求，設(shè)公差為d，則d＞1，由題意，得 對(duì)n∈N*均成立，化為（n﹣1）d＜n．對(duì)n分類討論解出即可得出．（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則 ，由題意可得：{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1 ， 可得在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”為最小項(xiàng)．同理，在 中，“ ”為最小項(xiàng)．再利用“K數(shù)列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．進(jìn)而得出．