Question

如下圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,點E是PD的中點.

(1)證明PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值.

Answer 1

(1)證法一:如圖,因為底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,?

所以AB=AD=AC=a.?

在△PAB中,由PA²+AB²=2a²=PB²?

知PA⊥AB.?

同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.?

因為=++?

=2++??

=(+)+( +)?

=+??

所以、、共面.?

又PB 平面EAC,所以PB∥平面EAC.

證法二:同證法一得PA⊥平面ABCD.?

連結(jié)BD,設(shè)BD∩AC=O,則O為BD的中點.?

連結(jié)OE,因為E是PD的中點,所以PB∥OE.?

又PB 平面EAC,OE 平面EAC,故PB∥平面EAC.

(2)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD知EG⊥平面ABCD.?

作GH⊥AC于H,連結(jié)EH,則EH⊥AC,∠EHG即為二面角θ的平面角.?

又E是PD的中點,從而G是AD的中點.?

EG=a,AG=a,?

GH=AGsin60°=a,?

所以tanθ==.