Question

如下圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD．

(2)求證：AD⊥PB．

(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，∴BG⊥AD 　　又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD． 　　(2)證明：連結PG．∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD． 　　由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB 　　∵PB平面PGB，∴AD⊥PB． 　　(3)解：當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中點F，連結DE、EF、DF， 　　則由平面幾何知識知，在△PBC中，F(xiàn)E∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE． 　　而FE平面DEF，DE平面DEF，F(xiàn)E∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB． 　　由(1)知，PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB， 　　∴平面PGB⊥平面ABCD．∴平面DEF⊥平面ABCD． 　　∴PC的中點即為所求．

提示：

對于第(1)問，要證直線與平面垂直，已知面PAD⊥面ABCD，只要證明BG與交線AD垂直即可；對第(2)問，由于AD∥BC，故只要證BC⊥PB；第(3)問是開放性的問題，可以選取特殊點，比如說取F為PC的中點來討論．