Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出切線方程得斜率，再求出該點(diǎn)的函數(shù)值，利用點(diǎn)斜式求解；（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，再分類討論；（Ⅲ）從函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，表示，得到新的函數(shù)，再求最值.

試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，

則

所以切線方程為，

即為

（Ⅱ）

令

當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)且，即時(shí)，由，得，

由，得或；

由，得.

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，；

單調(diào)遞減區(qū)間是

（Ⅲ）函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（Ⅱ）可得，

由則，，，

由，可得，，

令，

由，則，，

又，則，即在遞減，

即有，即，

即有實(shí)數(shù)的取值范圍為.