Question

直線x+3y-3=0交x、y軸于A、B兩點(diǎn),試在直線y=-x上求一點(diǎn)P₁,使|P₁A|+|P₁B|最小;在y=x上找一點(diǎn)P₂,使||P₂A|-|P₂B||最大,并求出兩值及|P₁P₂|的值.

Answer 1

|P₁A|+|P₁B|的最小值是5,||P₂A|-|P₂B||的最小值是1,|P₁P₂|=0.?

解析:令x=0,得y=2;令y=0,得x=3.?

∴A(3,0),B(0,2),點(diǎn)B關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)B′(-2,0),直線AB′即x軸,交y=-x于(0,0),即為P₁點(diǎn).?

∵|P₁A|+|P₁B|=|P₁A|+|P₁B′|≥|B′A|,?

∴當(dāng)P₁在直線AB′上,即AB′與y=-x相交時(shí),|P₁A|+|P₁B|最小,最小值為|B′A|=3-(-2)=5.?

又B關(guān)于y=x有對(duì)稱點(diǎn)B″(2,0),?

||P₂A|-|P₂B||=||P₂A|-|P₂B″||≤|AB″|=3-2=1,當(dāng)且僅當(dāng)P₂、B″、A共線(又在y=x上),即P₂為直線AB″(即x軸)與y=x的交點(diǎn)(0,0)時(shí),||P₂A|-|P₂B||最大為1,故P₁和P₂重合,即|P₁P₂|=0.