Question

（08年大連24中） （12分）    如圖，已知直線的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F，B在直線上的射影依次為點(diǎn)D，K，E.

   （1）若拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；

   （2）對于（1）中的橢圓C，若直線L交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時，求的值；

   （3）連接AE，BD，試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由.

 

Answer 1

解析:（1）易知

      

       …………………………………………2分

   （2）

       設(shè)

      

       …………………………………………4分

       又由

      

       同理

      

       ……………………………………6分

   （3）

       先探索，當(dāng)m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK中點(diǎn)N，且

       猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點(diǎn)……………………8分

       證明：設(shè)

       當(dāng)m變化時首先AE過定點(diǎn)N

      

      

       A、N、E三點(diǎn)共線

       同理可得B、N、D三點(diǎn)共線

       ∴AE與BD相交于定點(diǎn)……………………12分