Question

【題目】已知是數(shù)列的前項和，并且，對任意正整數(shù)， ，設(shè)（）.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；

（2）設(shè)，求證：數(shù)列不可能為等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）利用an+1=Sn+1-Sn可知證明an+1=4（an-an-1），通過bn=an+1-2an可知bn+1=2（an+1-2an），通過作商可知{bn}是公比為2的等比數(shù)列，通過a1=1可知b1=3，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）假設(shè)為等比數(shù)列，則有, n≥2, 則有，故假設(shè)不成立，則數(shù)列不可能為等比數(shù)列 .

試題解析：(I)∵Sn+1=4an+2，∴Sn=4an-1+2(n≥2)，

兩式相減：an+1=4an-4an-1(n≥2)，∴an+1=4(an-an-1)(n≥2)，

∴bn=an+1-2an，

∴bn+1=an+2-2an+1=4(an+1-an)-2an+1，bn+1=2(an+1-2an)=2bn(n∈N*)，

∴，∴{bn}是以2為公比的等比數(shù)列，

∵b1=a2-2a1，而a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，b1=5-2=3，

∴bn=32n-1(n∈N*)

(II)，假設(shè)為等比數(shù)列，則有

, n≥2, 則有=0

與 ≥1矛盾，所以假設(shè)不成立，則原結(jié)論成立，即

數(shù)列不可能為等比數(shù)列