【題目】已知函數(shù),
為常數(shù),若當(dāng)
時,
有三個極值點(diǎn)
(其中
).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),由于函數(shù)
在
上有三個極值點(diǎn)
在
上三個實(shí)數(shù)根,令
在
有兩個不為1的且不相等的實(shí)數(shù)根,然后利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)
的交點(diǎn)問題來解決即可.
(2)由(1)可得出結(jié)果令
,表示出
,用綜合分析法借助導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明
.
(1)由,
為常數(shù),得
,
由于函數(shù)在
上有三個極值點(diǎn),得
在
上三個實(shí)數(shù)根,
當(dāng)=1時,
成立,所以令
,得
在
有兩個不為1的且不相等的實(shí)數(shù)根,令
,
, 在
上,兩個函數(shù)圖像如圖所示:
當(dāng),
,圖像相切時設(shè)切點(diǎn)為M(
),由
,
,解得
即得坐標(biāo)M(1,1),即得
,
由圖像可知:N,所以
,
當(dāng)在
有兩個實(shí)數(shù)根時,
,
的圖像在
上有兩個交點(diǎn),所以得
,此時
,
,
即得的取值范圍為:
.
(2) 由(1)得在
有兩個實(shí)數(shù)根即得
,
且,即得
,
要證,即
由得
設(shè),
,
,∴
,
聯(lián)立,得:
,∴
, ∴要證
,只需
,
則有:,即
,則需證明
令,即需證明
因?yàn)?/span>恒成立,
所以在
,上是單調(diào)遞減函數(shù),則有
即成立,所以
,即
得以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)求的最小正周期;
(2)若將函數(shù)圖像向左平移
個單位后得到函數(shù)
的圖像,求函數(shù)
在區(qū)間
上的值域;
(3)銳角三角形中,若
,
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)問:是否存在實(shí)數(shù),使得
有兩個相異零點(diǎn)?若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(
為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求曲線在
處的切線的方程;
(2)若對于任意實(shí)數(shù),
恒成立,試確定
的取值范圍;
(3)當(dāng)時,函數(shù)
在
上是否存在極值?若存在,請求出極值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線
上的點(diǎn)
到焦點(diǎn)
的距離為2.
(1)求拋物線的方程;
(2)如圖,點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn),拋物線在點(diǎn)
處的切線與
軸相交于點(diǎn)
,直線
與拋物線相交于
兩點(diǎn),求
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心為
,直線l過點(diǎn)
且與x軸不重合,l交圓
于C,D兩點(diǎn),過
作
的平行線,交
于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)E的軌跡為
.
(1)求的方程;
(2)直線與
相切于點(diǎn)M,
與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A與B,直線
經(jīng)過點(diǎn)M且與
垂直,
與
的另一個交點(diǎn)為N,當(dāng)
取得最小值時,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)已知點(diǎn)為拋物線
的焦點(diǎn),點(diǎn)
在拋物線
上,且
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),延長
交拋物線
于點(diǎn)
,證明:以點(diǎn)
為圓心且與直線
相切的圓,必與直線
相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0(m∈R).
(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;
(2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若直線l的傾斜角為120°,求弦AB的長.
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