Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

(1)求函數(shù)的極值；

(2)問：是否存在實數(shù),使得有兩個相異零點？若存在,求出的取值范圍；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①當(dāng)時，函數(shù)無極值.②當(dāng)時,函數(shù)有極小值為,無極大值；(2)存在,

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的不同取值范圍,進行分類討論,求出函數(shù)的極值；

(2)根據(jù)的不同取值范圍,進行分類討論,結(jié)合、函數(shù)的極值的大小、(1)中的結(jié)論,最后求出的取值范圍.

解：(1)因為,所以.

①當(dāng)時，，

所以時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

此時，函數(shù)無極值.

②當(dāng)時,令，得,

當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

此時,函數(shù)有極小值為,無極大值.

(2)存在實數(shù),使得有兩個相異零點.

由(1)知：①當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；

又,所以此時函數(shù)僅有一個零點；

②當(dāng)時，.

因為,則由（1）知；

取,令,

易得,所以在單調(diào)遞減,

所以,所以.

此時,函數(shù)在上也有一個零點.

所以,當(dāng)時,函數(shù)有兩個相異零點.

③當(dāng)時,,，

此時函數(shù)僅有一個零點.

④當(dāng)時,,因為,則由(1)知；

令函數(shù),易得,

所以,所以,即.

又,所以函數(shù)在上也有一個零點,

所以,當(dāng)時,函數(shù)有兩個相異零點.

綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)有兩個相異零點.