Question

【題目】已知，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若是展開式中所有無理項的二項式系數(shù)和，數(shù)列是各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明:.

Answer 1

【答案】（1）. （2）165.（3）見解析.

【解析】分析：（1）求得，可得；（2）由二項展開式定理可得 ；（3）因為，為無理項，所以必為奇數(shù)，所以，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

詳解：（1）由題意，所以，所以.

（2），

所以 .

（3）因為，所以要得無理項，必為奇數(shù)，

所以，

要證明，

只要證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（Ⅰ）當(dāng)時，左邊=右邊，

當(dāng)時，，

∴時，不等式成立.

（Ⅱ）假設(shè)當(dāng) 時，成立，

則時，（*）

∵，

∴結(jié)合（*）得：成立，

∴時，不等式成立.

綜合（Ⅰ）（Ⅱ）可知對一切均成立.

∴不等式成立 .