Question

如圖在多面體ABCDEF中，ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，且AD=DE=2BF=2．
（I）求證：AC⊥EF；
（II）求二面角C-EF-D的大小；
（III）設(shè)G為CD上一動(dòng)點(diǎn)，試確定G的位置使得BG∥平面CEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積為0，即可證明AC⊥EF；
（II）取為平面EFD的法向量，求出平面CEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角C-EF-D的大小；
（III）若BG∥平面CEF，只需，則可得G為CD的中點(diǎn)時(shí)，BG∥平面CEF．
解答：（I）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F(xiàn)（2，2，1），E（0，0，2）
∴
∴=-2×2+2×2+（-1）×0=0
∴AC⊥EF；
（II）解：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥ED
∵AC⊥EF，∴取為平面EFD的法向量
∴=（-2，2，0）
設(shè)平面CEF的法向量為=（x，y，1），∴
∵=（0，2，-2），
∴
∴
∴
設(shè)二面角C-EF-D的大小為θ，則
cosθ===
∵θ∈[0，π]，∴
（III）解：設(shè)G（0，y，0），y∈[0，2]
若BG∥平面CEF，只需，又=（-2，y，0）
∴=（-2，y-2，0）•（-，1，1）=1+y-2+0=0
∴y=1
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1，0）
即當(dāng)G為CD的中點(diǎn)時(shí)，BG∥平面CEF．
點(diǎn)評：本題考查利用空間向量求空間角，考查線面平行，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．