Question

（2013•泰安一模）如圖在多面體ABCDEF中，ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，且AD=DE=2BF=2．
（I）求證：AC⊥EF；
（II）求二面角C-EF-D的大小；
（III）設(shè)G為CD上一動點(diǎn)，試確定G的位置使得BG∥平面CEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）建立坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積為0，即可證明AC⊥EF；
（II）取

AC

為平面EFD的法向量，求出平面CEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角C-EF-D的大�。�
（III）若BG∥平面CEF，只需

BG

⊥

n

，則可得G為CD的中點(diǎn)時，BG∥平面CEF．

解答：（I）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F(xiàn)（2，2，1），E（0，0，2）
∴

AC

=(-2，2，0)，

EF

=(2，2，-1)
∴

AC

•

EF

=-2×2+2×2+（-1）×0=0
∴AC⊥EF；
（II）解：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥ED
∵AC⊥EF，∴取

AC

為平面EFD的法向量
∴

AC

=（-2，2，0）
設(shè)平面CEF的法向量為

n

=（x，y，1），∴

EF • n =0 EC • n =0

∵

EC

=（0，2，-2），
∴

2x+2y-1=0 2y-2=0

∴

x=- 1 2 y=1

∴

n

=(-

1

2

，1，1)
設(shè)二面角C-EF-D的大小為θ，則
cosθ=

n • AC

| n || AC |

=

(- 1 2 ，1，1)•(-2，2，0)

3 2 •2 2

=

2

2

∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

4

（III）解：設(shè)G（0，y₀，0），y₀∈[0，2]
若BG∥平面CEF，只需

BG

⊥

n

，又

BG

=（-2，y₀，0）
∴

BG

•

n

=（-2，y₀-2，0）•（-

1

2

，1，1）=1+y₀-2+0=0
∴y₀=1
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1，0）
即當(dāng)G為CD的中點(diǎn)時，BG∥平面CEF．

點(diǎn)評：本題考查利用空間向量求空間角，考查線面平行，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．