Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，，，O為線段CD的中點(diǎn)，將沿BO折到 的位置，使得，E為的中點(diǎn)．

（1）求證:;

（2）求直線AE與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)ABCD為菱形， ，得到為等邊三角形，由O為線段CD的中點(diǎn)，得到，再由，得到，從而平面BOD，得到，又，從而平面即可得證.

（2）由（1）知兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量和的坐標(biāo)，代入公式求解.

（1）因?yàn)?/span>ABCD為菱形， ，

所以為等邊三角形，

又O為線段CD的中點(diǎn)，

所以，即折疊后有，

因?yàn)?/span>，所以，而，

所以，

所以，

所以平面BOD，又平面BOD,

所以，又，

所以，，

所以平面，

所以.

（2）由（1）知兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則

，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，所以，

令，得，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以直線AE與平面所成角的正弦值.