Question

求下列函數(shù)的最值
（1）x＞0時(shí)，求的最小值．
（2）設(shè)，求的最大值．
（3）若0＜x＜1，求y=x⁴（1-x²）的最大值．
（4）若a＞b＞0，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可為三個(gè)數(shù)的和，將變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173113579773965/SYS201311031731135797739006_DA/1.png">，用基本不等式求出最小值．
（2）將函數(shù)變形f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3，令log₃x=t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決．
（3）將原函數(shù)式化為y=x⁴（1-x²）=4×x²•x²（1-x²）后利用基本不等式求解即可．
（4）本題可為三個(gè)數(shù)的和，可進(jìn)行變形a+=a-b+b+用基本不等式求出最小值．
解答：解：（1）y=，
=9，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
∴函數(shù)的最小值為9．

（2）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由，得，t∈[-2，3]
∴y=t²-2t-3，t∈[-2，3]
當(dāng)t=-2或3時(shí)，y_max=5
（3）y=x⁴（1-x²）=4×x²•x²（1-x²）=，
故y=x⁴（1-x²）的最大值是．
（4）∵a＞b＞0
a+=a-b+b+≥3=3=3，
當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b=時(shí)取等號(hào)．
故最大值為：3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式公式，此題主要考查求函數(shù)最值問(wèn)題，在做題的時(shí)候不能只考慮研究函數(shù)圖象的方式求最值，需要多分析題目，對(duì)于特殊的函數(shù)可以用基本不等式直接求得最值．