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        1. 設(shè)函數(shù)數(shù)學(xué)公式的導(dǎo)數(shù)為f′(x).
          (I)當(dāng)a=1時,證明:f′(x)>0;
          (II)當(dāng)a=1時,數(shù)列{an}滿足:0<a1<1,且an+1=f(an),求證:0<an+1<an<1;
          (III)若y=f(x)的單調(diào)增函數(shù),求正數(shù)a的取值范圍.

          解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時,
          g(x)=f′(x)=x-sinx
          g(x)=f′(x)=x-sinx,g′(x)=1-cosx≥0對任意x∈(0,+∞)恒成立,所以y=g(x)在∈(0,+∞)上是增函數(shù)
          故g(x)>g(0)=0,即f′(x)>0.
          (II)由(I)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.
          下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          ①當(dāng)n=1時,由0<a1<1得f(0)<f(a1)<f(1)=-+cos1<1,故0<a2<1
          又a2=f(a1)=,
          即當(dāng)n=1時,0<a2<a1<1
          ②假設(shè)n=k(k≥1)時,有0<ak+1<ak<1,則當(dāng)n=k+1時,有f(0)<f(ak+1)<f(ak)<f(1)
          即0<ak+2<ak+1<f(1)<1
          即當(dāng)n=k+1時命題成立.
          由①②知:0<an+1<an<1對任意正整數(shù)都成立.
          (III)由
          得h(x)=f′(x)=ax-sinx,若y=f(x)是單調(diào)增函數(shù),f′(x)=ax-sinx>0恒成立.
          ①當(dāng)a≥1時,任意x∈(0,+∞)恒有ax≥x>sinx,此時f′(x)=ax-sinx>0
          ∴y=f(x)在(0,+∞)是單調(diào)增函數(shù).
          ②當(dāng)0<a<1時,h′(x)=a-cosx=0得cosx=a,在(0,)上存在x0使得cosx0=a
          當(dāng)x∈(0,x0)時h′(x)=a-cosx<0,h(x)=f′(x)<f(0)=0這與任意x∈(0,+∞)恒成立矛盾
          綜上a≥1為所求.
          分析:(I)將a=1代入f(x)解析式,利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法求出f′(x).轉(zhuǎn)化為研究f′(x)恒正,考慮它的單調(diào)性以此解決函數(shù)值域.
          (II)由已知不易作差或作商,可考慮數(shù)學(xué)歸納法證明.
          (III)利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解,a的取值應(yīng)使f′(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
          點評:本題是函數(shù)與不等式、數(shù)列,三角的綜合性題目.考查函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算,單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,不等式的證明方法,數(shù)學(xué)歸納法,三角函數(shù)的有界性,分類討論思想.需要較強(qiáng)的分析解決問題的能力.此題盤整了中學(xué)的重要數(shù)學(xué)知識和思想方法,是難題,也是好題.可細(xì)心體會.
          練習(xí)冊系列答案
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          1f(n)
          }(n∈N*)
          的前n項和為
           

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          12
          對稱,且f′(1)=0
          (Ⅰ)求實數(shù)a,b的值
          (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值.

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          (2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+
          ax
          +2x
          ,若g(x)在[1,e]的最小值是2,求實數(shù)a的值.

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          (1)求函數(shù)y=f(x)在A(-1,f(-1)),B(2,f(2))兩點處的切線的夾角的正切值;
          (2)已知函數(shù),若方程只有一個實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.

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