Question

（2011•綿陽一模）現(xiàn)有若干枚形狀完全相同的硬幣，已知其中一枚略重，其余各枚重量均相同，要求使用天平（不用砝碼），將略重的那枚硬幣找出來．小王的方案是：首先任取兩枚放在天平兩側(cè)進(jìn)行稱量，若天平不平衡，則重的那邊為略重的那枚硬幣：若天干平衡，將兩枚都取下，從剩下的硬幣中再任取兩枚放在天平兩側(cè)進(jìn)行稱量，如此進(jìn)行下去，直到找到那枚略重的硬幣為止．若小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬幣的概率為

2

9

．
（I ）請問共有多少枚硬幣？
（II）設(shè)ξ為找到略重那枚硬幣時己稱量的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬幣的概率為

2

9

建立等式，解之即可；
（II）ξ的取值為1，2，3，4，然后根據(jù)等可能事件的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)共有n枚硬幣，根據(jù)題意得
P₁=

C 1 n-1

C 2 n

=

2

9

，解得n=9．…（2分）
（Ⅱ）ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 1 8

C 2 9

=

2

9

，P（ξ=2）=

C 2 8

C 2 9

•

C 1 6

C 2 7

=

2

9

，P（ξ=3）=

C 3 8

C 2 9

•

C 2 6

C 2 7

•

C 1 4

C 2 5

=

2

9

P（ξ=4）=

C 2 8

C 2 9

•

C 2 6

C 2 7

•

C 2 4

C 2 5

•1=

3

9

．…（10分）
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	2 9	2 9	2 9	3 9

∴Eξ=1×

2

9

+2×

2

9

+3×

2

9

+4×

3

9

=

8

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望，以及等可能事件的概率，同時考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．