Question

（本小題滿分12分）已知，函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程；
(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使>g(x_o)成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ） 函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為；
（Ⅱ）當(dāng)即時(shí)，的極大值是，極小值是
①        當(dāng)即時(shí)，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 
綜上所述  時(shí)，極大值為，無極小值
時(shí) 極大值是，極小值是  
（Ⅲ）（，）   .

本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系，求解函數(shù)的極值，并分析方程根的問題的綜合運(yùn)用。
（1）先求解函數(shù)定義域和導(dǎo)數(shù)，然后得到切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，利用點(diǎn)斜式得到方程。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222135681781.png" style="vertical-align:middle;" />是關(guān)于含有參數(shù)的二次函數(shù)形式，那么對(duì)于參數(shù)a分情況討論得到單調(diào)性和極值問題。
（3）構(gòu)造新的函數(shù)設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)的思想求解其最大值即可。便可以得到a的范圍。
解：（Ⅰ）∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí)， 又 
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令  有 
②        當(dāng)即時(shí)

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是
③        當(dāng)即時(shí)，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 
綜上所述  時(shí)，極大值為，無極小值
時(shí) 極大值是，極小值是        ----------8分
（Ⅲ）設(shè)，
對(duì)求導(dǎo)，得
∵，    
∴在區(qū)間上為增函數(shù)，則
依題意，只需，即 
解得 或（舍去）
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（，）     ----------12分