Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對，，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先求得函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，對分成四種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對四種情況分別研究函數(shù)的函數(shù)值，結(jié)合來求得的取值范圍.

解：（1）由題意知，的定義域為，

由，

得.

①當時，令，可得，，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

②當時，，令，可得，，得或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為、；

③當時，，故函數(shù)的減區(qū)間為；

④當時，，令，可得，，得，或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.

綜上所述：當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在為減函數(shù)；當時，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）由（1）可知：

①當時，，此時；

②當時，，當時，有，，可得，不符合題意；

③當時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，不符合題意；

④當時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，不符合題意.

綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍為.