Question

（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²對(duì)一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=ax+2lnx，（a∈R），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²對(duì)一切x∈R恒成立?（2+a）x²+4x+a-1＞0對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)2+a=0時(shí)，容易驗(yàn)證是否成立；當(dāng)2+a≠0時(shí)，必須滿足

2+a＞0 △=16-4(2+a)(a-1)＜0

，解得a即可；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，而函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（x）=-f（-x）即可．

解答：解：（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²對(duì)一切x∈R恒成立?（2+a）x²+4x+a-1＞0對(duì)一切x∈R恒成立，
當(dāng)2+a=0時(shí)，化為4x-3＞0對(duì)一切x∈R不恒成立，應(yīng)舍去．
當(dāng)2+a≠0時(shí)，必須滿足

2+a＞0 △=16-4(2+a)(a-1)＜0

，解得a＞2或a＜-3．
綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，而函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-[-ax+2ln（-x）]=ax-2ln（-x）．
∴f(x)=

ax+2lnx，x＞0 ax-2ln(-x)，x＜0

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性等是解題的關(guān)鍵．