Question

已知點(diǎn)P（2，-1），求：
（1）過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；
（2）過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？
（3）是否存在過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線已過一點(diǎn)，考慮斜率不存在時是否滿足條件，在利用待定系數(shù)法根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立等量關(guān)系，求出斜率；
（2）過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，求出斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離即可；
（3）只需比較“過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線l中最大距離”與6的大小，即可判斷是否存在．

解答：解：（1）過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），可見，
過P（2，1）垂直于x軸的直線滿足條件．
此時l的斜率不存在，其方程為x=2．
若斜率存在，設(shè)l的方程為y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
由已知，過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2，得

|-2k-1|

k2+1

=2，解之得k=

3

4

．
此時l的方程為3x-4y-10=0．綜上，可得直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0．
（2）作圖可證過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得k_l•k_OP=-1，
所以k_l=-

1

kOP

=2．由直線方程的點(diǎn)斜式得y+1=2（x-2），即2x-y-5=0，
即直線2x-y-5=0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為

|-5|

5

=

5

．
（3）由（2）可知，過P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過

5

的直線，因此不存在過P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線的一般方程，以及兩點(diǎn)之間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．