Question

【題目】在四棱錐中，，，和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)在底面的射影為.

（1）求證：是中點(diǎn)；

（2）證明：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析:（1）根據(jù)等邊三角形有，依題意有平面，故，由此可知為中點(diǎn).（2）由平面可得，而，即，故平面，故.（3）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量計(jì)算二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：∵和都是等邊三角形，

∴，

又∵底面，

∴，

則點(diǎn)為的外心，又因?yàn)?/span>是直角三角形，

∴點(diǎn)為中點(diǎn).

（2）證明：由（1）知，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，

于是面，

∴，

∵在中，，，

∴，

又，∴，

從而即，

由，得面，

∴.

（3）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在射線(xiàn)為軸 ，軸，軸建系如圖，

∵，則，，，，

，，，，，

設(shè)面的法向量為，則

，，得，，

取，得，，

故.

設(shè)面的法向量為，則

，，得，，

取，則，故，

于是，

由圖觀(guān)察知為鈍二面角，

所以該二面角的余弦值為.